Hey gutter. Håber der er et par kyndige matematik hoveder derude der evt lige kunnee give en hjælpende hånd med et par ting mht mit studieretningsprojekt i Matematik og Biologi. Det omhandler kolesterolniveauet i mennesker, men jeg er lige i lidt problemer.

Jeg skal blandt andet vise hvordan jeg løser en differential ligning af typen:

dy/dx = b-a*y

Og her skal jeg komme ind på løsningskurver og begyndelsesbetingelser.
Jeg har fået et par stykker papir med denne ligning, men fatter hat af det, og kan ikke lige finde nogle andre steder på nettet der omhandler denne type ligning.

Så er der også en matematisk model til at finde kolesterolniveauet i mennesker:

dC/dt = k1 * (L-C) + k2 * E

Den tror jeg dog jeg har nogenlunde styr på. Så den lader vi ligge nu, med mindre der lige er nogen der genkender den og har noget der måske kunne hjælpe i forbindelse med den.

Så er der nogen der kan hjælpe mig med "bay" ligningen?

Er det et bevis du skal beskrive/forklare?

Her er et link, jeg synes selv det er nyttigt.. Det er til løsningskurver
http://education.ti.com/sites/DANMARK/d ... oplag4.pdf

(Det var lige den tid jeg havde nu - træningen kalder) Men hvad går opgaven helt konkret ud på?

Altså den specifikke opgave jeg nok har størst problemer med lyder:

Giv en kort introduktion til differential ligninger, og vis (evt. ved et eksempel) hvordan man løser differential ligninger af typen: dy/dx = b-a*y

Ok, jamen så lav et eks med diff.ligningen. Bare brug nemme og rene tal. Du kan også vise den fuldstændige løsning

desolve(y'=b-a*y,x,y)=b/a+c*e^-a*x

Ex. dy/dx= 2*y+10 <--> dy/dx=10+2*y (stiller den rigtig op så den passer til formlen)
dy/dx=10-(-2y) (a er altid det modsatte dvs 2=-2)

b=10
a=-2

y=10/-2+c*e^-(-2)*x

Den fuldstændige løsning:
y=-5+c*e^2x Så kan du finde c med et bestemt punkt fx (8,0)
8=-5+c*e^2*0 <-->
8=-5+c <-->
8+5=c
c=13

Hvis det er noget projekt så skal der nok lidt flere forklaringer på, men det var lige hvad jeg kunne hjælpe med

puha..

Man bliver helt ør i hovedet af alle de bogstaver

Som der bliver pointeret, er det formentligt ikke nok bare at vise en løsningsformel til den generelle differentialligning. Det optimale er at udlede denne. Dette gøres.

dy/dx = b-ay

En metode til løsning af en sådan 1.ordens lineær differentialligning er separation af variable. I dette tilfælde fås entydigt:

dy/(b-ay) = dx

Integration yder

-(1/a)ln|ay-b|= x + c1,

hvor c1 er en arbitrær konstant.

Omskrivning yder

ln|ay-b|= -ax – ac1,

ln|ay-b|= -ax – c2,

ay = b + exp(-ax – c2),

y = b/a + (1/a)exp(-ax-c2),

y = b/a + (1/a)exp(-ax)exp(-c2).

Her er exp(-c2) en ny arbitrær konstant --> c3.

Hermed fås

y = b/a + (c3/a)exp(-ax),

hvor c3/a er endnu en konstant --> c.

Slutteligt bliver den generelle løsning

y = b/a + cexp(-ax).

Dette er heldigvis i overensstemmelse med løsningsformlen præsenteret tidligere ;) For fuldstændighedens skyld burde du nok løse integralet af 1/(b-ay) ved integration ved substitution.

Hernæst kan du så vise et eksempel med nogle reelle tal, og så finde en specifik løsning ud fra givne randbetingelser.